Quelques compléments au paradoxe de Russell...
Autant qu'on peut le faire ici je vais apporter, en raccourci, quelques précisions.pouvant être partiellement éclairantes :
On peut dire qu'il y a un après-Godel et un avant-Godel.
Avant Godel les Mathématiques étaient bien
carrées, binaires, sans aucune faille. Tout était soit Vrai, soit Faux. La véracité ou la fausseté étant prouvées par toute une batterie d'outils puissants et rigoureux, non discutables.
A partir de Godel (vers 1931), rien ne va plus comme avant. La machine logique se grippe.
Deux gros virus apparaissent et ont pour nom l'incohérence (démonstration d'une assertion et de son contraire) et l'incomplétude (Impossibilité de démontrer telle
vérité mathématique).
Par exemple, en ce qui concerne l'incomplétude, Godel investit l'arithmétique. Son 1er théorème d'incomplétude stipule qu'il existe toujours au-moins une assertion
indécidable, c'est-à-dire qui ne peut ni être prouvée ni non plus être infirmée.
Ce 1er théorème nous indique qu'il est impossible de dresser une liste exhaustive de l'ensemble des vérités se rapportant aux nombres, qu'il existera nécessairement au-moins une assertion non prouvée et aussi des indécidables.
Même si, via d'autres axiomes, on s'échinait à vouloir construire une autre arithmétique cohérente qui rendrait décidable ces assertions-là, d'autres apparaîtraient comme indécidables.
Le second théorème est certainement plus complexe à manier. Grosso modo il nous indique qu'on ne peut pas prouver la cohérence d'une quelconque arithmétique. Une arithmétique n'a pas la
puissance pour pouvoir prouver sa propre cohérence, sa propre consistance.
Leur démonstration en est assez redoutable.Elle passe par les équations polynomiales pour lesquelles on montre qu'il n'existe pas de solutions entières.
Ce second théorème d'incomplétude permet de surmonter les fameux paradoxes de Russell et d'autres.
Il est en effet vain (naïf) de penser pouvoir trouver une solution en adoptant un même type de raisonnement (Avec Kant et sa Critique de la Raison pure on avait déjà été confronté à de tels paradoxes logiques). Pour s'en sortir par le haut il faut une théorie plus large, cohérente mais élargie, impliquant de nouveaux ensembles appelés NBF.On le fait en construisant cette nouvelle théorie autour de l'axiome de non-fondation en particulier.
il existe pléthore d'exemples illustrant les paradoxes, celui de Russell étant l'un parmi d'autres.
Par exemple le célèbre paradoxe du barbier : Un barbier doit raser uniquement tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Question : Qui rase le barbier ?
Ou : Dites-vous toujours la vérité ? Non.
Et encore : Un Marseillais disait : Tous les Marseillais sont des menteurs.
Un p'tit dernier : Je ne me marierai qu'avec une femme suffisamment intelligente..........pour ne pas m'épouser.
On peut s'amuser à en fabriquer à la pelle.
Et il y a, parmi tous, celui de Russell qui s'énonce ainsi : Est-ce que l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes (qui ne s'appartiennent pas) constitue un ensemble se contenant lui-même ou pas (qui s'appartient ou pas) ?
Si ce nouvel ensemble ne se contient pas lui-même il est donc élément de l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes, et donc un ensemble qui se contient lui-même.
Si ce nouvel ensemble se contient lui-même il n'est pas élément de l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes. Il est donc ensemble qui ne se contient pas lui-même.
Si on en reste à ce niveau de raisonnement logique on ne peut lever ces contradictions. Godel l'a montré.
Il nous faut en passer par une sorte de métalangage.
On doit d'ailleurs cela à Russell lui-même. Cette nouvelle façon de voir s'appelle, chez Russell, la théorie simple des types. C'est un peu l'ancêtre de la théorie de ZF. Aujourd'hui on utilise, comme je l'ai déjà dit, la théorie ZF (sans l'axiome de fondation) couplée avec l'axiome de non-fondation (tout graphe possède une unique décoration).
Un exemple parmi d'autres : Langage : L'herbe est verte.
Métalangage : L'herbe est verte est une phrase vraie.
En fait ce qui indispose beaucoup de mathématiciens c'est le fait qu'on n'arrive pas à démontrer un grand nombre de propositions déductibles des axiomes, car la démonstration est trop difficile. Cette difficulté n'ayant rien à voir avec l'incomplétude de Godel.
Les démonstrations de ces théorèmes peuvent, néanmoins, être considérablement raccourcis en s'outillant d'axiomes plus puissants. C'est ce qu'on appelle le théorème d'accélération de Godel.
A côté de ça il existe aussi des théorèmes dont on a prouvé qu'ils étaient indémontrables (un des premiers l'a été vers 1960).
Autre remarque très importante à l'usage de certains philosophes-métaphysiciens : Bien que certaines propositions soient
indécidables, Godel montre, pour certaines d'entre-elles, qu'elles sont vraies. Le formalisme ne permettant pas de les démontrer rigoureusement mais, pour autant, on peut voir qu'elles sont vraies.
Morale : Ne pas utiliser le théorème de Godel pour disserter à l'infini sur les limites de la connaissance.
En fait le théorème de Godel élargit grandement nos connaissances plutôt que le contraire.