Deux oiseaux morts

 
Vive inquiétude du côté de la LPO.
Où sont passés les hirondelles et les martinets ?
 

En effet : nous ne voyons plus de martinets au-dessus de chez nous depuis trois ans. Quant aux hirondelles, il n'y en a plus cette année qu'un couple, et il est arrivé très tard, alors qu'il y en avait trois naguère qui nichaient ici.

Chez moi, la population de martinets était nombreuse.
Cette année, aucun n'est arrivé.
J'ai fait le tour des villages environnants pour trouver des nids d'hirondelles. Je n'en ai pas trouvé aucun.
Je crois qu'il s'est passé quelque chose.

C'est la faute aux Africains : ils nous envoient des migrants et, en échange, ils gardent nos hirondelles.

(Pour les martinets, non : ça leur rappelle trop le fouet…)

Si si, pour les martinets aussi, ce doit être la faute aux activistes du CRAN et compagnie...

Citation
Pierre Hergat
Je n'en ai pas trouvé aucun.

Hum ! je n'en ai trouvé aucun plutôt non ?

Il doit y avoir de la logique ZFC là-dedans (L'axiome de l'ensemble vide). Il fallait lire: je n'en ai trouvé plus qu'aucun.
En ZFC, on dit que l'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient que l’élément vide. Il est donc vide bien qu'il contienne un élement, le vide. Bref, plus qu'aucun, autrement dit, le ciel est vide.

Oui cher Pierre. C'est le fameux axiome de fondation : tout ensemble non vide contient un élément avec lequel il n'a aucun élément en commun.
Mais, contrairement à tous les autres, je peux vous assurer que cet axiome ZFC n'est jamais utilisé par les mathématiciens.
A sa place on utilise l'axiome d'antifondation. Si vous êtes un peu familier avec la théorie ZFC vous devez savoir que l'axiome de fondation implique (la démonstration est facile) qu'un ensemble ne peut s'appartenir.
Et bien avec l'axiome d'antifondation c'est justement le contraire qui est impliqué, à savoir qu'un ensemble peut s'appartenir, et même mieux que ça qu'il peut appartenir à une partie de lui.même.
Cette théorie a quelques applications notamment en informatique (pointeur).

» tout ensemble non vide contient un élément avec lequel il n'a aucun élément en commun

Frege avait défini le "zéro" comme l'extension de la classe d'objets subsumés par le concept "non identique à soi-même".
D'où il ressort qu'une classe vide, contenant zéro objets, contient tous les éléments qui n'ont aucun élément en commun avec eux-mêmes ?

» Et bien avec l'axiome d'antifondation c'est justement le contraire qui est impliqué, à savoir qu'un ensemble peut s'appartenir, et même mieux que ça qu'il peut appartenir à une partie de lui.même.

Eh bien, quand vous dites "qu'un ensemble peut s'appartenir", faites-vous référence à ce que Russel avait appelé "classe qui est membre d'elle-même" (par exemple "la classe de toutes les classes" est elle-même une classe), par opposition aux "classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes" (il est patent que la classe des petites cuillers n'est pas elle-même une petite cuiller) ? mais, here's the thing : est-ce que la classe des classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes est ou n'est pas membre de la classe des classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes ??
De quelque façon qu'on réponde à cette question importante on aboutit à un paradoxe (qui n'est d'ailleurs pas sans rappeler le bon vieux "paradoxe du menteur"), ce que tout bon logicien fuit comme la peste : aussi Russel (avec Whitehead) ont formulé ce qui (me) semble bien être une sorte d'ancêtre de ce que vous appelez "axiome de fondation" justement :
Tout ce qui contient le tout d'une collection ne peut en aucun cas être membre de cette collection, autrement dit, un ensemble ne doit en principe jamais s'appartenir, sous peine de s'exposer à ce genre de difficultés.
Qu'en dites-vous ?

Ça y est, les martinets sont arrivés ! Putaing, cong ! Hier soir, avec quinze jours de retard.

Ce que vous dites, à savoir qu''un ensemble ne saurait appartenir à lui même sans tomber sur le paradoxe de Russell; est le résultat d'une mécompréhension de ce paradoxe.
C'est justement le remplacement de cet axiome de fondation par un autre axiome dit d'anti-fondation (lequel n'est pas stricto sensu réductible à la négation de l'axiome de fondation), apparu à la fin des années quatre-vingt (Aczel), qui permet de surmonter ce paradoxe.
Ce remplacement ne posant aucun problème de cohérence de la théorie ensembliste et a, de plus, l'immense avantage d'offrir aux mathématiciens une extension de cette théorie ZF, C'est-à-dire que tous les ensembles définis à partir de la théorie ZF (dont l'axiome de fondation fait partie) sont conservés tels quels avec, en plus, d'autres "nouveaux" ensembles qu'on appelle dans le jargon ensembles NBF ( non-bien fondés).
Ce changement d'axiome est possible car l'axiome de fondation, comme tout autre axiome d'ailleurs, est totalement indépendant des autres axiomes de la théorie ZF. Encore fallait-il le remplacer par un autre axiome assurant la cohérence de la théorie. Ce qui est bien le cas et en plus, on en a une extension. La notion d'ensemble est élargie.
Par contre ce nouvel axiome (d'anti-fondation) n'a pas la même ontologie que son remplacé. On le définit, assez simplement tout de même, en utilisant graphe et relation binaire.
Armé de cette théorie on n'a plus de paradoxe de Russell et, en particulier, tout ensemble peut s'appartenir.
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Quelques compléments au paradoxe de Russell...

Autant qu'on peut le faire ici je vais apporter, en raccourci, quelques précisions.pouvant être partiellement éclairantes :

On peut dire qu'il y a un après-Godel et un avant-Godel.
Avant Godel les Mathématiques étaient bien carrées, binaires, sans aucune faille. Tout était soit Vrai, soit Faux. La véracité ou la fausseté étant prouvées par toute une batterie d'outils puissants et rigoureux, non discutables.
A partir de Godel (vers 1931), rien ne va plus comme avant. La machine logique se grippe.
Deux gros virus apparaissent et ont pour nom l'incohérence (démonstration d'une assertion et de son contraire) et l'incomplétude (Impossibilité de démontrer telle vérité mathématique).
Par exemple, en ce qui concerne l'incomplétude, Godel investit l'arithmétique. Son 1er théorème d'incomplétude stipule qu'il existe toujours au-moins une assertion indécidable, c'est-à-dire qui ne peut ni être prouvée ni non plus être infirmée.
Ce 1er théorème nous indique qu'il est impossible de dresser une liste exhaustive de l'ensemble des vérités se rapportant aux nombres, qu'il existera nécessairement au-moins une assertion non prouvée et aussi des indécidables.
Même si, via d'autres axiomes, on s'échinait à vouloir construire une autre arithmétique cohérente qui rendrait décidable ces assertions-là, d'autres apparaîtraient comme indécidables.
Le second théorème est certainement plus complexe à manier. Grosso modo il nous indique qu'on ne peut pas prouver la cohérence d'une quelconque arithmétique. Une arithmétique n'a pas la puissance pour pouvoir prouver sa propre cohérence, sa propre consistance.
Leur démonstration en est assez redoutable.Elle passe par les équations polynomiales pour lesquelles on montre qu'il n'existe pas de solutions entières.
Ce second théorème d'incomplétude permet de surmonter les fameux paradoxes de Russell et d'autres.
Il est en effet vain (naïf) de penser pouvoir trouver une solution en adoptant un même type de raisonnement (Avec Kant et sa Critique de la Raison pure on avait déjà été confronté à de tels paradoxes logiques). Pour s'en sortir par le haut il faut une théorie plus large, cohérente mais élargie, impliquant de nouveaux ensembles appelés NBF.On le fait en construisant cette nouvelle théorie autour de l'axiome de non-fondation en particulier.
il existe pléthore d'exemples illustrant les paradoxes, celui de Russell étant l'un parmi d'autres.
Par exemple le célèbre paradoxe du barbier : Un barbier doit raser uniquement tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Question : Qui rase le barbier ?
Ou : Dites-vous toujours la vérité ? Non.
Et encore : Un Marseillais disait : Tous les Marseillais sont des menteurs.
Un p'tit dernier : Je ne me marierai qu'avec une femme suffisamment intelligente..........pour ne pas m'épouser.
On peut s'amuser à en fabriquer à la pelle.
Et il y a, parmi tous, celui de Russell qui s'énonce ainsi : Est-ce que l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes (qui ne s'appartiennent pas) constitue un ensemble se contenant lui-même ou pas (qui s'appartient ou pas) ?
Si ce nouvel ensemble ne se contient pas lui-même il est donc élément de l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes, et donc un ensemble qui se contient lui-même.
Si ce nouvel ensemble se contient lui-même il n'est pas élément de l'ensemble de tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes. Il est donc ensemble qui ne se contient pas lui-même.
Si on en reste à ce niveau de raisonnement logique on ne peut lever ces contradictions. Godel l'a montré.
Il nous faut en passer par une sorte de métalangage.
On doit d'ailleurs cela à Russell lui-même. Cette nouvelle façon de voir s'appelle, chez Russell, la théorie simple des types. C'est un peu l'ancêtre de la théorie de ZF. Aujourd'hui on utilise, comme je l'ai déjà dit, la théorie ZF (sans l'axiome de fondation) couplée avec l'axiome de non-fondation (tout graphe possède une unique décoration).
Un exemple parmi d'autres : Langage : L'herbe est verte.
Métalangage : L'herbe est verte est une phrase vraie.

En fait ce qui indispose beaucoup de mathématiciens c'est le fait qu'on n'arrive pas à démontrer un grand nombre de propositions déductibles des axiomes, car la démonstration est trop difficile. Cette difficulté n'ayant rien à voir avec l'incomplétude de Godel.
Les démonstrations de ces théorèmes peuvent, néanmoins, être considérablement raccourcis en s'outillant d'axiomes plus puissants. C'est ce qu'on appelle le théorème d'accélération de Godel.
A côté de ça il existe aussi des théorèmes dont on a prouvé qu'ils étaient indémontrables (un des premiers l'a été vers 1960).
Autre remarque très importante à l'usage de certains philosophes-métaphysiciens : Bien que certaines propositions soient indécidables, Godel montre, pour certaines d'entre-elles, qu'elles sont vraies. Le formalisme ne permettant pas de les démontrer rigoureusement mais, pour autant, on peut voir qu'elles sont vraies.
Morale : Ne pas utiliser le théorème de Godel pour disserter à l'infini sur les limites de la connaissance.
En fait le théorème de Godel élargit grandement nos connaissances plutôt que le contraire.

» Il nous faut en passer par une sorte de métalangage. On doit d'ailleurs cela à Russell lui-même. Cette nouvelle façon de voir s'appelle la théorie simple des types.

Cher Daniel, il se peut que je n'aie pas compris comment l'axiome d'anti-fondation contourne ou purement et simplement résout le problème posé par le paradoxe de Russel, c'est même probable (d'où mon interrogation), mais je crois que pour ce qui est du paradoxe lui-même, il n'y avait aucune mécompréhension, puisque je l'ai exposé de la façon la plus classique qui soit, celle de Russel lui-même, et que vous reprenez d'ailleurs dans votre dernier message (à savoir : "est-ce que la classe des classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes est ou n'est pas membre de la classe des classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes ??").

Ce paradoxe, qui est celui de l'autoréférenciation, survient chaque fois qu'un contenant se réfère à lui-même comme son propre contenu, et qu'il y a contradiction entre les traits intensionnels de ce contenu et le fait même de s'adjoindre comme contenu : comme vous l'avez dit, il y a de multiples façons d'en rendre compte, mais l'une des plus intuitives à mon sens est celle du catalogue des catalogues : soit un bibliothécaire dressant un catalogue des catalogues ; appelons hétéro-catalogues les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes et auto-catalogues ceux qui le font ; si ce brave homme entreprend de dresser le catalogue des hétéro-catalogues, il se trouvera dans un grand embarras et ne saura pas du tout comment s'en dépêtrer : ne mentionnant pas le catalogue qu'il est en train de rédiger dans la liste des hétéro-catalogues, il en fait donc partie, et doit y figurer, mais ce faisant, le catalogue devient auto-catalogue, et s'en exclut par ce fait même. Cette situation impossible est presque tragique...

C'est là qu'intervient en effet cette "théorie des types", pour tenter d'éviter ce genre de piège apparemment inextricable ; que dit-elle ? "Elle distingue les fonction simples des fonctions de fonctions en interdisant qu'une fonction se prenne elle-même pour argument sans s'élever dans la hiérarchie des fonctions." Autrement dit, elle énonce un "principe des cercles vicieux" en voulant éliminer ce genre de "totalités illégitimes", énoncé que je vous ai soumis dans mon précédent message : Tout ce qui contient le tout d'une collection ne peut en aucun cas être membre de cette collection.

Qu'est-ce que cela veut dire ? Que la théorie des types interdit précisément qu'une classe puisse être membre d'elle-même, c'est-à-dire s'autoréférencie comme totalité faisant partie d'elle-même en même temps, comme contenu, sous peine de constituer une totalité illégitime parce que paradoxale.
Alors pardon, cette théorie distinguant soigneusement les niveaux de référence veut précisément éviter ce que l'axiome d'anti-fondation, nous y revenons, énonce, à savoir "qu'une classe peut s'appartenir", c'est-à-dire être membre d'elle-même.

A priori, ou bien j'ai loupé quelque chose, ce qui est fort possible, la théorie des types de Russel, en voulant éviter le piège logique de l'autoréférenciation, exclut donc ce qu'admet l'axiome d'anti-fondation, du moins dans la version que vous en avez donné, d'où, derechef, mon interrogation...

Cher Alain, la théorie des types de Russell a été introduite en vue de résoudre les paradoxes logiques. Dans cette approche les ensembles sont des types hiérarchisés.

Vous êtes bien d'accord si je dis : l'assertion une classe ne peut s'appartenir découle directement de l'axiome de fondation.
Et que donc en créant, de toutes pièces, une nouvelle théorie ensembliste, cohérente et prolongeant la théorie ZF, n'utilisant pas cet axiome de fondation, je peux espérer obtenir, pour cette nouvelle théorie là, de nouveaux ensembles qui auront la propriété de s'appartenir (les NBF).
C'est exactement ce qui se passe avec la théorie ZF, privée de l'axiome de fondation et couplée avec l'axiome d'anti-fondation (nécessaire pour en assurer la cohérence). Cette nouvelle théorie est dite plus puissante.
Car on obtient avec elle toujours les ensembles vérifiant l'ancienne théorie ZF (avec l'axiome de fondation), c'est-à-dire tous ceux ne s'appartenant pas (les biens-fondés), mais en plus les NBF (non-bien-fondés, appelés aussi hyper-ensembles), c'est-à-dire tous ceux qui n'appartiennent pas à ce qu'on appelle l'univers de von Neumann. Car l'axiome d'anti-fondation implique un résultat captivant, à savoir que l'univers de von Neumann n'est pas le tout ; d'autres existent, vérifiant toute la nouvelle théorie et donc ses axiomes.
Cette nouvelle théorie a des applications intéressantes en informatique (pointeur et algèbre de processus).

Plus précisément on connaît actuellement 4 axiomes différents d'anti-fondation :

1. AFA C'est celui d'Aczel, dû à Forti
2. BAFA C'est celui de Boffa
3. FAFA Celui de Finsier
4. SAFA Celui de Scott

Le plus utilisé, et de très loin (que je connais pas mal bien que je ne sois pas un spécialiste de la logique mathématique) est le premier cité.
Comme je l'ai déjà dit cette nouvelle théorie des hyper-ensembles est une extension de la classique théorie des ensembles.
Pour se familiariser avec cette théorie (des NBF) rien ne vaut le livre (en anglais) de Pierre Aczel, datant de la fin des années quatre-vingt.

Daniel, je ne voudrais pas laisser notre bibliothécaire en rade, incapable de terminer son travail : le pauvre type dresse donc un catalogue des catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes, un catalogue des hétéro-catalogues, comme dit supra ; une telle situation, dans la vie réelle, peut se présenter ; ayant déjà rédigé une liste exhaustive de tous les hétéro-catalogues imaginables, il ne lui reste plus que celui qu'il est en train d'élaborer, et il est acculé, paralysé par l'impossibilité très concrète de finir l'ouvrage ; un mauvais génie de type hyper-cartésien lui souffle à l'oreille qu'il y a peut-être une solution, un système de recensement plus puissant qui pourrait lui permettre d'échapper au dilemme du paradoxe.
Comment fait-il ? Est-ce qu'il se met aussitôt à entreprendre la rédaction d'un autre catalogue des hétéro-catalogues, en espérant que la seule possibilité imaginaire d'inventer de nouvelles règles niant les précédentes lui permettra d'éviter l'écueil de l'autoréférenciation ?
C'est ce qui m'intéresse en réalité, les implications pratiques de la chose, au regard du paradoxe de Russel, qui me semble toujours aussi réaliste et difficilement contestable.

Tout cela me rappelle un peu ce que Musil avait dit de l'amour, dans l'HSQ je crois : qu'il n'est que le constat de la faillite d'une entreprise égotique, et la résolution d'ouvrir sur-le-champ un nouveau comptoir à côté de l'ancien.

Mais enfin, Alain, le problème que se posaient les mathématiciens contemporains n'était pas du tout celui-là. Vous le savez bien.
Bien évidemment que votre bibliothécaire n'arrivera jamais à ses fins. Bien évidemment qu'un tel barbier (ambitionnant de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes) ne saurait exister et que donc, dans tous ces paradoxes, l'hypothèse faite au départ (c'est-à-dire l'existence de telle ou telle chose) est purement et simplement fausse.
Le problème n'est pas là ! Bien sûr qu'il n'existe pas de nombres réels dont le carré soit négatif. Néanmoins les mathématiciens ont créé, de toutes pièces, un nouveau corps (celui des complexes) dont la théorie prolonge celle du corps des réels, est cohérente et, muni de cette théorie on peut trouver des nombres qui ont un carré négatif.
Alors certes ces nombres (dont le carré est négatif) n'ont aucun sens dans la vie de tous les jours, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas payer sa baguette de pain avec. Pour autant ils sont parfaitement définis mathématiquement et, cerise sur le gâteau, s'avèrent un outil d'une rare puissance dans maints domaines de la physique, comme vous le savez bien. Pourtant ce sont des nombres parfaitement imaginaires, portant donc bien leur nom. Pour résoudre de bien réels problèmes pratiques de physique on doit faire le détour par ce monde calculatoire imaginaire, et ensuite on revient sur terre, si j'ose dire.
En prolongeant la théorie des nombres réels par celle des complexes on a créé une théorie plus puissante, cela tenant au fait que le corps des complexes a des propriétés que n'a pas celui des réels, en faisant ce qu'on nomme un corps algébriquement clos.
Mais, bien évidemment, ce nouveau corps algébriquement clos ne va pas servir à prouver qu'il existerait des réels purs dont le carré soit négatif. Ce serait de la pure démence sénile.
De la même façon la nouvelle théorie ensembliste, bien que plus puissante que la théorie classique, ne sert nullement à résoudre le problème pratique du bibliothécaire. Comme pour les complexes elle nous dit seulement (mais c'est déjà énorme) que d'autres ensembles existent (c'est-à-dire sont parfaitement définis mathématiquement dans la nouvelle théorie), que d'autres univers ensemblistes existent, tout en sachant bien entendu que ces nouveaux ensembles (ces nouveaux nombres imaginaires), appelés NBF ou hyper-ensembles, ne sont pas utilisables pour notre bibliothécaire (comme ces nouveaux nombres ne le sont pas non plus pour acheter sa baguette). Néanmoins, comme pour les complexes, cette nouvelle théorie ensembliste, cerise sur le gâteau, s'avère très utile en certains domaines, par exemple en informatique théorique.

Quand les mathématiciens contemporains disent qu'ils ont surmonté le paradoxe de Russell, cela ne veut absolument pas dire que celui-ci est résolu dans la théorie ensembliste classique, cela veut seulement dire qu'ils ont trouvé d'autres ensembles, définis à partir d'une nouvelle théorie cohérente et prolongeant l'ancienne, pour lesquels ce paradoxe n'en est plus un.
De la même façon que quand on dit qu'il existe des nombres dont le carré est négatif cela ne veut pas dire qu'il existe des réels dont le carré le soit.
Ni plus ni moins.

Cher Daniel, vous serez d'accord je pense pour dire que le paradoxe de Russel n'est qu'une façon un peu alambiquée d'illustrer le problème logique de l'autoréférence, dont la forme la plus élémentaire et intuitive fut déjà exprimée par Epiménide, dit-on, et qu'exprime très simplement la question de savoir si la phrase "Je mens" est vraie ou fausse.
Ma question est donc la suivante : sans entrer dans des détails trop techniques, y a-t-il une modélisation propre de ce type de proposition par une quelconque théorie "hyper-ensembliste", augmentée donc de l'axiome d'anti-fondation, qui permettrait, sinon une "solution" pure et simple, du moins une façon inédite de poser le problème (en fait, en cherchant un peu on tombe assez rapidement sur certain essai traitant précisément de cela) ?

Citation
aLAIN eYTAN
en cherchant un peu on tombe assez rapidement sur certain essai traitant précisément de cela

Oui c'est ce que je vous disais dès le début, cet essai nous invite à la lecture du livre incontournable de Pierre Aczel, logicien et informaticien.
Son axiome d'anti-fondation étant, de nos jours, le plus utilisé par les logiciens.
Aczel

Vous noterez, Daniel, que mon nom en tête de citation est lui-même tout à fait NBF.

Oui, merci, j'avais vu cela, mais je ne vais pas me jeter sur le lit et et me taper incontinent tout le traité d'Aczel, du moins pas tout de suite...
Au hasard j'avais vu ceci aussi :

« En logique, elle permet de traiter des phrases autoréférentielles comme la célébre phrase du menteur : "je mens" ou "cette phrase est fausse", qui peut ainsi être modélisée par l'hyperensemble M={faux, {M}. »

Mais encore ? a-t-on envie de demander à l'auteur de l'article, car je peine à voir en quoi cette modélisation nous aide en quoi que ce soit, en l'occurrence...

Cher Alain,

Que d'emblée et spontanément vous peiniez à voir tout cela, quoi de plus normal ! Sinon vous seriez ce qu'on nomme un génie.
Car il y a bien un moment où, malheureusement, il faut se coltiner la théorie et rentrer dans le dur.
Moi-même, n'étant nullement un logicien ni un maniaque du formalisme, lequel bien qu'utile à une réflexion dans laquelle se mêlent inextricablement philosophie, métaphysique et Logique, prend, chez certains mathématiciens, une importance somme toute un peu démesurée, voire obsessionnelle limite pathologie, moi-même donc, disais-je, serais bien impuissant à vous servir sur un plateau le raccourci magique vous donnant un accès gratuit (c'est-à-dire sans trop d'effort) à une telle connaissance. Malheureusement il n'y a pas de passe-droit et, en tout cas, je suis bien incapable d'une telle vulgarisation de cette théorie, à supposer que cela soit possible, ce que je doute fortement.
Très souvent, chez quelques miens amis non scientifiques, j'ai remarqué ce désir de comprendre tout, et presque tout de suite, sans en passer par la lecture éprouvante de la théorie. Mais c'est souvent quasi impossible, surtout à ce niveau-là d'abstraction et de formalisme.
Je botte donc en touche direz-vous en vous conviant à la lecture du livre d'Aczel.. La première chose à s'instruire étant la construction (assez facile) de l'axiome AFA., moyennant graphe et relation binaire.